Inequações Modulares

O que é uma Inequação Modular?

Uma inequação modular envolve uma expressão dentro de um módulo. O módulo de um número, denotado por |x|, é sempre positivo e representa a distância do número x até zero na reta numérica. Por exemplo, |3| = 3 e |-3| = 3. Nas inequações modulares, estamos interessados em resolver inequações que envolvem a função módulo.

Resolvendo Inequações Modulares

Para resolver uma inequação modular do tipo |ax + b| < c, onde a, b, e c são constantes e c > 0, devemos considerar duas condições:

1. ax + b < c
2. ax + b > -c

Isso nos dá um sistema de inequações que podemos resolver para encontrar os valores de x que satisfazem a inequação original.

Exemplos Resolvidos

Exemplo 1

Resolva a inequação |2x - 3| < 5.

Primeiro, dividimos a inequação em duas partes:

1. 2x - 3 < 5
2. 2x - 3 > -5

Agora, resolvemos cada uma separadamente:

1. 2x - 3 < 5     2x < 8           x < 4

2. 2x - 3 > -5   2x > -2          x > -1

Combinando as duas soluções, obtemos: -1 < x < 4

Exemplo 2

Resolva a inequação |x + 4| ≥ 7.

Neste caso, dividimos a inequação em duas partes:

1. x + 4 ≥ 7
2. x + 4 ≤ -7

Resolvendo cada uma separadamente:

1. x + 4 ≥ 7       x ≥ 3

2. x + 4 ≤ -7     x ≤ -11

As soluções são x ≥ 3 ou x ≤ -11.

Gráficos de Inequações Modulares

Ao desenhar o gráfico de uma inequação modular, o módulo cria um "V" invertido ou direito, dependendo da desigualdade. O ponto de vértice é onde a expressão dentro do módulo é igual a zero.

Exercícios

1. Resolva a inequação |3x - 2| ≤ 4.
2. Encontre os valores de x para os quais |x - 5| > 2.
3. Determine a solução para a inequação |4x + 1| < 3.

Quiz

1. Qual é a solução da inequação |x - 1| < 2?                                                                                               a) -1 < x < 3                                                                                                                                         b) x < 3                                                                                                                                                 c) x > -1                   

2. Como se resolve a inequação |2x + 3| ≥ 6?                                                                                         a) 2x + 3 < 6                                                                                                                                     b) 2x + 3 ≥ 6 e 2x + 3 ≤ -6                                                                                                               c) 2x + 3 > 6

3. Para a inequação |x| ≤ 5, qual é a solução?                                                                                             a) x ≤ 5                                                                                                                                                b) -5 ≤ x ≤ 5                                                                                                                                          c) x ≥ -5

4. O que representa o módulo de um número |x|?                                                                                  a) O valor absoluto de x                                                                                                                    b) O valor negativo de x                                                                                                                    c) O valor zero

5. Qual é a solução da inequação |3x - 4| > 7?                                                                                       a) 3x - 4 < 7                                                                                                                                         b) 3x - 4 > 7 ou 3x - 4 < -7                                                                                                                   c) 3x - 4 = 7

6. Qual é o vértice do gráfico da função modular |x + 2|?                                                                    a) (2,0)                                                                                                                                                b) (-2,0)                                                                                                                                             c) (0,2)

7. Qual é a solução da inequação |x + 6| ≤ 4?                                                                                          a) x ≤ -2                                                                                                                                              b) -10 ≤ x ≤ -2                                                                                                                                      c) x ≥ -10

Editado por Gj